关于背包问题的一些理解和应用(2)

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

（2）状态转移方程

（3） 解题思想

用以下方法转化为普通01背包问题：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。这种方法能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。这个很容易证明，证明过程中用到以下定理：任何一个整数n均可以表示成：n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^k,其中ak=0或者1(实际上就是n的二进制分解)，

定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。

该定理的证明如下：

（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；

（2）如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示，这个很容易证明：我们把t的二进制表示写出来，很明显，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二进制数为0或者1.

（3）如果t>=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式，进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某几个数的和（加数中一定含有s）的形式。

（证毕！）

该算法的时间复杂度为：O(V*sum(logn[i])).

（4） 经典题型

[1] 找零钱问题：有n种面额的硬币，分别为a[0], a[1],…, a[n-1]，每种硬币的个数为b[0], b[1],…, b[n-1]，至少用多少枚硬币表示给定的面值M？

2.4二维费用背包

（1）问题描述

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问 怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种 背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

（2）状态转移方程

（3）算法思想

采用同一维情况类似的方法求解

（4）经典题型

有2n个整数，平均分成两组，每组n个数，使这两组数的和最接近。

3.背包总结

背包问题实际上代表的是线性规划问题，一般要考虑以下几个因素已决定选取什么样的算法：

（1）约束条件，有一个还是两个或者更多个，如果是一个，可能是01背包，完全背包或者多重背包问题，如果有两个约束条件，则可能是二维背包问题。

（2）优化目标，求最大值，还是最小值，还是总数(只需将max换成sum)

（3）每种物品的个数限制，如果每种物品只有一个，只是简单的01背包问题，如果个数无限制，则是完全背包问题，如果每种物品的个数有限制，则是多重背包问题。

（4）背包是否要求刚好塞满，注意不塞满和塞满两种情况下初始值不同。

4.参考资料

dd_engi：《背包问题九讲》