数据结构之红黑树详解

1.简介

红黑树是一种自平衡二叉查找树。它的统计性能要好于平衡二叉树（AVL树），因此，红黑树在很多地方都有应用。在C++ STL中，很多部分(目前包括set, multiset, map, multimap)应用了红黑树的变体(SGI STL中的红黑树有一些变化，这些修改提供了更好的性能，以及对set操作的支持)。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除等操作。

本文介绍了红黑树的基本性质和基本操作。

2.红黑树的性质

红黑树，顾名思义，通过红黑两种颜色域保证树的高度近似平衡。它的每个节点是一个五元组：color（颜色），key（数据），left（左孩子），right（右孩子）和p（父节点）。

红黑树的定义也是它的性质，有以下五条：

性质1. 节点是红色或黑色

性质2. 根是黑色

性质3. 所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）

性质4. 如果一个节点是红的，则它的两个儿子都是黑的

性质5. 从任一节点到其叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。

这五个性质强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。为什么呢？性质4暗示着任何一个简单路径上不能有两个毗连的红色节点，这样，最短的可能路径全是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。同时根据性质5知道：所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

3.红黑树的基本操作

因为红黑树也是二叉查找树，因此红黑树上的查找操作与普通二叉查找树上的查找操作相同。然而，红黑树上的插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。恢复红黑树的性质需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。

3.1插入操作

插入操作可以概括为以下几个步骤：

(1)查找要插入的位置，时间复杂度为：O(N)

(2)将新节点的color赋为红色

(3)自下而上重新调整该树为红黑树

其中，第(1)步的查找方法跟普通二叉查找树一样，第(2)步之所以将新插入的节点的颜色赋为红色，是因为：如果设为黑色，就会导致根到叶子的路径上有一条路上，多一个额外的黑节点，这个是很难调整的。但是设为红色节点后，可能会导致出现两个连续红色节点的冲突，那么可以通过颜色调换（color flips）和树旋转来调整，这样简单多了。下面讨论步骤(3)的一些细节：

设要插入的节点为N，其父节点为P，其父亲G的兄弟节点为U（即P和U是同一个节点的两个子节点）。

[1] 如果P是黑色的，则整棵树不必调整便是红黑树。

[2] 如果P是红色的（可知，其父节点G一定是黑色的），则插入z后，违背了性质4，需要进行调整。调整时分以下3种情况：

（a）N的叔叔U是红色的

如上图所示，我们将P和U重绘为黑色并重绘节点G为红色(用来保持性质5)。现在新节点N有了一个黑色的父节点P，因为通过父节点P或叔父节点U的任何路径都必定通过祖父节点G，在这些路径上的黑节点数目没有改变。但是，红色的祖父节点G的父节点也有可能是红色的，这就违反了性质4。为了解决这个问题，我们在祖父节点G上递归调整颜色。

（b）N的叔叔U是黑色的，且N是右孩子

如上图所示，我们对P进行一次左旋转调换新节点和其父节点的角色; 接着，按情形(c)处理以前的父节点P以解决仍然失效的性质4。

（c）N的叔叔U是黑色的，且N是左孩子

如上图所示，对祖父节点G 的一次右旋转; 在旋转产生的树中，以前的父节点P现在是新节点N和以前的祖父节点G 的父节点， 然后交换以前的父节点P和祖父节点G的颜色，结果的树满足性质4，同时性质5[4]也仍然保持满足。

3.2删除操作

删除操作可以概括为以下几个步骤：

(1)查找要删除位置，时间复杂度为：O(N)