六讲贯通C++图的应用之四 最小生成树(1)

笔者从基本储存方法、DFS和BFS、无向图、最小生成树、最短路径以及活动网络(AOV、AOE)六个方面详细介绍C++图的应用。这篇我们该介绍最小生成树了。

最小生成树

说人是最难伺候的，真是一点不假。上面刚刚为了“提高可靠性”添加了几条多余的边，这会儿又来想办法怎么能以最小的代价把所有的顶点都连起来。可能正是人的这种精神才使得人类能够进步吧――看着现在3GHz的CPU真是眼红啊，我还在受500MHz的煎熬，然后再想想8086……

正如图的基本元素是顶点和边，从这两个方向出发，就能得到两个算法――Kruskal算法(从边出发)、Prim算法(从顶点出发)。据说还有别的方法，恕我参考资料有限，不能详查。

最小生成树的储存

显然用常用的树的储存方法来储存没有必要，虽然名曰“树”，实际上，这里谁是谁的“祖先”、“子孙”并不重要。因此，用如下的MSTedge结构数组来储存就可以了。

template <class dist>   
class MSTedge   
{   
public:   
MSTedge() {}   
MSTedge(int v1, int v2, dist cost) : v1(v1), v2(v2), cost(cost) {}   
int v1, v2;   
dist cost;   
bool operator > (const MSTedge& v2) { return (cost > v2.cost); }   
bool operator < (const MSTedge& v2) { return (cost < v2.cost); }   
bool operator == (const MSTedge& v2) { return (cost == v2.cost); }   
};  

Kruskal算法

最小生成树直白的讲就是，挑选N-1条不产生回路最短的边。Kruskal算法算是最直接的表达了这个思想――在剩余边中挑选一条最短的边，看是否产生回路，是放弃，不是选定然后重复这个步骤。说起来倒是很简单，做起来就不那么容易了――判断是否产生回路需要并查集，在剩余边中找一条最短的边需要最小堆(并不需要对所有边排序，所以堆是最佳选择)。

Kruskal算法的复杂度是O(eloge)，当e接近N^2时，可以看到这个算法不如O(N^2)的Prim算法，因此，他适合于稀疏图。而作为稀疏图，通常用邻接表来储存比较好。另外，对于邻接矩阵储存的图，Kruskal算法比Prim算法占不到什么便宜(初始还要扫描N^2条“边”)。因此，最好把Kruskal算法放在Link类里面。

template <class name, class dist> int Link::MinSpanTree(MSTedge* a)   
{   
MinHeap > E; int i, j, k, l = 0;   
MFSets V(vNum); list::iterator iter;   
for (i = 0; i < vNum; i++)   
for (iter = vertices[i].e->begin(); iter != vertices[i].e->end(); iter++)   
E.insert(MSTedge(i, iter->vID, iter->cost));//建立边的堆   
for (i = 0; i < eNum && l < vNum; i++)//Kruskal Start   
{   
j = V.find(E.top().v1); k = V.find(E.top().v2);   
if (j != k) { V.merge(j, k); a[l] = E.top(); l++; }   
E.pop();   
}   
return l;   
}  

下面是堆和并查集的实现

#ifndef Heap_H   
#define Heap_H   
#include    
using namespace std;   
#define minchild(i) (heap[i*2+1] 
template <class T>   
class MinHeap   
{   
public:   
void insert(const T& x) { heap.push_back(x); FilterUp(heap.size()-1); }   
const T& top() { return heap[0]; }   
void pop() { heap[0] = heap.back(); heap.pop_back(); FilterDown(0); }   
private:   
void FilterUp(int i)   
{   
for (int j = (i - 1) / 2; j >= 0 && heap[j] > heap[i]; i = j, j = (i - 1) / 2)   
swap(heap[i], heap[j]);   
}   
void FilterDown(int i)   
{   
for (int j = minchild(i); j < heap.size() && heap[j] < heap[i]; i = j, j = minchild(i))   
swap(heap[i], heap[j]);   
}   
vector heap;   
};   
#endif   
 
#ifndef MFSets_H   
#define MFSets_H   
class MFSets   
{   
public:   
MFSets(int maxsize) : size(maxsize)   
{   
parent = new int[size + 1];   
for (int i = 0; i <= size; i++) parent[i] = -1;   
}   
~MFSets() { delete []parent; }   
void merge(int root1, int root2)//root1!=root2   
{   
parent[root2] = root1;   
}   
int find(int n)   
{   
if (parent[n] < 0) return n;   
return find(parent[n]);   
}   
private:   
int size;   
int* parent;   
};   
#endif